【动规】解决智力问题

解决智力问题

给你一个下标从 0 开始的二维整数数组 questions ，其中 questions[i] = [pointsi, brainpoweri] 。

这个数组表示一场考试里的一系列题目，你需要 按顺序 （也就是从问题 0 开始依次解决），针对每个问题选择 解决 或者 跳过 操作。解决问题 i 将让你 获得 pointsi 的分数，但是你将 无法 解决接下来的 brainpoweri 个问题（即只能跳过接下来的 brainpoweri 个问题）。如果你跳过问题 i ，你可以对下一个问题决定使用哪种操作。

比方说，给你 questions = [[3, 2], [4, 3], [4, 4], [2, 5]] ： 如果问题 0 被解决了， 那么你可以获得 3 分，但你不能解决问题 1 和 2 。 如果你跳过问题 0 ，且解决问题 1 ，你将获得 4 分但是不能解决问题 2 和 3 。 请你返回这场考试里你能获得的 最高 分数。

记忆化搜索

比较容易想到的做法。

class Solution {
public:
    long long mostPoints(vector<vector<int>>& questions) {
        map<int, long long> m;
        function<long long(int)> solve = [&](int x) {
            if (m.count(x)) return m[x];
            if (x >= questions.size()) return (long long)0;
            long long a = solve(x + 1);
            long long b = questions[x][0] + solve(x + 1 + questions[x][1]);
            m[x] = max(a, b);
            return m[x];
        };
        return solve(0);
    }
};

倒序DP

\(f(i)\)为从第\(i\)题开始做的最高得分。由于用到之后的信息，需要倒序计算。

\[ \displaylines{ f(i) = \max\{f(i+1), \text{points}(i)+f(i+1+\text{brainpower}(i))\} } \]

class Solution {
public:
    long long mostPoints(vector<vector<int>>& questions) {
        int n = questions.size();
        vector<long long> dp(n + 1, 0);
        for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
            dp[i] = max(dp[i + 1], questions[i][0] + dp[min(n, i + questions[i][1] + 1)]);
        }
        return dp[0];
    }
};

正序DP

\(f(i)\)为前\(i\)题的最高得分。每次循环不只更新当前下标，还要更新未来的下标。

class Solution {
public:
    long long mostPoints(vector<vector<int>> &questions) {
        int n = questions.size();
        vector<long long> dp(n + 1);
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            dp[i + 1] = max(dp[i + 1], dp[i]);
            int j = min(n, i + questions[i][1] + 1);
            dp[j] = max(dp[j], dp[i] + questions[i][0]);
        }
        return dp[n];
    }
};